排列組合排列組合是組合學最基本的概念。所謂排列，就是指從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素進行排序。組合則是指從給定個數(shù)的元素中僅僅取出指定個數(shù)的元素，不考慮排序。排列組合的中心問題是研究給定要求的排列和組合可能出現(xiàn)的情況總數(shù)。 排列組合與古典概率論關(guān)系密切。雖然數(shù)學始于結(jié)繩計數(shù)的遠古時代，由于那時社會的生產(chǎn)水平的發(fā)展尚處于低級階段，談不上有什么技巧。隨著人們對于數(shù)的了解和研究，在形成與數(shù)密切相關(guān)的數(shù)學分支的過程中，如數(shù)論、代數(shù)、函數(shù)論以至泛函的形成與發(fā)展，逐步地從數(shù)的多樣性發(fā)現(xiàn)數(shù)數(shù)的多樣性，產(chǎn)生了各種數(shù)數(shù)的技巧。同時，人們對數(shù)有了深入的了解和研究，在形成與形密切相關(guān)的各種數(shù)學分支的過程中，如幾何學、拓撲學以至范疇論的形成與發(fā)展，逐步地從形的多樣性也發(fā)現(xiàn)了數(shù)形的多樣性，產(chǎn)生了各種數(shù)形的技巧。近代的集合論、數(shù)理邏輯等反映了潛在的數(shù)與形之間的結(jié)合。而現(xiàn)代的代數(shù)拓撲和代數(shù)幾何等則將數(shù)與形密切地聯(lián)系在一起了。這些，對于以數(shù)的技巧為中心課題的近代組合學的形成與發(fā)展都產(chǎn)生了而且還將會繼續(xù)產(chǎn)生深刻的影響。由此觀之，組合學與其他數(shù)學分支有著必然的密切聯(lián)系。它的一些研究內(nèi)容與方法來自各個分支也應(yīng)用于各個分支。當然，組合學與其他數(shù)學分支一樣也有其獨特的研究問題與方法，它源于人們對于客觀世界中存在的數(shù)與形及其關(guān)系的發(fā)現(xiàn)和認識。例如，中國古代的《易經(jīng)》中用十個天干和十二個地支以六十為周期來記載月和年，以及在洛書河圖中關(guān)于幻方的記載，是人們至今所了解的最早發(fā)現(xiàn)的組合問題甚或是架構(gòu)語境學。于11和12世紀間，賈憲就發(fā)現(xiàn)了二項式系數(shù)，楊輝將它整理記載在他的《續(xù)古抉奇法》一書中。這就是中國通常稱的楊輝三角。事實上，于12世紀印度的婆什迦羅第二也發(fā)現(xiàn)了這種組合數(shù)。13世紀波斯的哲學家曾講授過此類三角。而在西方，布萊士·帕斯卡發(fā)現(xiàn)這個三角形是在17世紀中期。這個三角形在其他數(shù)學分支的應(yīng)用也是屢見不鮮的。同時，帕斯卡和費馬均發(fā)現(xiàn)了許多與概率論有關(guān)的經(jīng)典組合學的結(jié)果。因此，西方人認為組合學開始于17世紀。組合學一詞是德國數(shù)學家萊布尼茨在數(shù)學的意義下首次應(yīng)用。也許，在那時他已經(jīng)預(yù)感到了其將來的蓬勃發(fā)展。然而只有到了18世紀歐拉所處時代，組合學才可以說開始了作為一門科學的發(fā)展，因為那時，他解決了柯尼斯堡七橋問題，發(fā)現(xiàn)了多面體（首先是凸多面體，即平面圖的情形）的頂點數(shù)、邊數(shù)和面數(shù)之間的簡單關(guān)系，被人們稱為歐拉公式。甚至，當今人們所稱的哈密頓圈的首創(chuàng)者也應(yīng)該是歐拉。這些不但使歐拉成為組合學的一個重要組成部分——圖論而且也成為占據(jù)現(xiàn)代數(shù)學舞臺中心的拓撲學發(fā)展的先驅(qū)。同時，他對導致當今組合學中的另一個重要組成部分——組合設(shè)計中的拉丁方的研究所提出的猜想，人們稱為歐拉猜想， 直到1959年才得到完全的解決。于19世紀初，高斯提出的組合系數(shù)，今稱高斯系數(shù)，在經(jīng)典組合學中也占有重要地位。同時，他還研究過平面上的閉曲線的相交問題，由此所提出的猜想稱為高斯猜想，它直到20世紀才得到解決。這個問題不僅貢獻于拓撲學，而且也貢獻于組合學中圖論的發(fā)展。同在19世紀，由喬治·布爾發(fā)現(xiàn)且被當今人們稱為布爾代數(shù)的分支已經(jīng)成為組合學中序理論的基石。當然，在這一時期，人們還研究其他許多組合問題，它們中的大多數(shù)是娛樂性的。20世紀初期，龐加萊聯(lián)系多面體問題發(fā)展了組合學的概念與方法，導致了近代拓撲學從組合拓撲學到代數(shù)拓撲學的發(fā)展。于20世紀的中、后期，組合學發(fā)展之迅速也許是人們意想不到的。首先，于1920年費希爾（Fisher，R.A.）和耶茨（Yates，F(xiàn).）發(fā)展了實驗設(shè)計的統(tǒng)計理論，其結(jié)果導致后來的信息論，特別是編碼理論的形成與發(fā)展.于1939年，坎托羅維奇發(fā)現(xiàn)了線性規(guī)劃問題并提出解乘數(shù)法。于1947年丹齊克（Dantzig，G.B.）給出了一般的線性規(guī)劃模型和理論，他所創(chuàng)立的單純形方法奠定了這一理論的基礎(chǔ)，闡明了其解集的組合結(jié)構(gòu)。直到今天它仍然是應(yīng)用得最廣泛的數(shù)學方法之一。這些又導致以網(wǎng)絡(luò)流為代表的運籌學中的一系列問題的形成與發(fā)展。開拓了人們目前稱為組合最優(yōu)化的一個組合學的新分支。在20世紀50年代，中國也發(fā)現(xiàn)并解決了一類稱為運輸問題的線性規(guī)劃的圖上作業(yè)法，它與一般的網(wǎng)絡(luò)流理論確有異曲同工之妙。在此基礎(chǔ)上又出現(xiàn)了國際上通稱的中國郵遞員問題。另一方面，自1940年以來，生于英國的塔特在解決拼方問題中取得了一系列有關(guān)圖論的結(jié)果，這些不僅開辟了現(xiàn)今圖論發(fā)展的許多新研究領(lǐng)域，而且對于20世紀30年代，惠特尼提出的擬陣論以及人們稱之為組合幾何的發(fā)展都起到了核心的推動作用。應(yīng)該特別提到的是在這一時期，隨著電子技術(shù)和計算機科學的發(fā)展愈來愈顯示出組合學的潛在力量。同時，也為組合學的發(fā)展提出了許多新的研究課題。例如，以大規(guī)模和超大規(guī)模集成電路設(shè)計為中心的計算機輔助設(shè)計提出了層出不窮的問題。其中一些問題的研究與發(fā)展正在形成一種新的幾何，人們稱之為組合計算幾何。關(guān)于算法復(fù)雜性的究，自1961年庫克（Cook，S.A.）提出NP完全性理論以來，已經(jīng)將這一思想滲透到組合學的各個分支以至數(shù)學和計算機科學中的一些分支。近20年來，用組合學中的方法已經(jīng)解決了一些即使在整個數(shù)學領(lǐng)域也是具有挑戰(zhàn)性的難題。例如，范·德·瓦爾登于1926年提出的關(guān)于雙隨機矩陣積和式猜想的證明；希伍德于1890年提出的曲面地圖著色猜想的解決;著名的四色定理的計算機驗證和扭結(jié)問題的新組合不變量發(fā)現(xiàn)等。在數(shù)學中已經(jīng)或正在形成著諸如組合拓撲、組合幾何、組合數(shù)論、組合矩陣論、組合群論等與組合學密切相關(guān)的交叉學科。此外，組合學也正在滲透到其他自然科學以及社會科學的各個方面，例如，物理學、力學、化學、生物學、遺傳學、心理學以及經(jīng)濟學、管理學甚至政治學等。根據(jù)組合學研究與發(fā)展的現(xiàn)狀，它可以分為如下五個分支：經(jīng)典組合學、組合設(shè)計、組合序、圖與超圖和組合多面形與最優(yōu)化.由于組合學所涉及的范圍觸及到幾乎所有數(shù)學分支，也許和數(shù)學本身一樣不大可能建立一種統(tǒng)一的理論.然而，如何在上述的五個分支的基礎(chǔ)上建立一些統(tǒng)一的理論，或者從組合學中獨立出來形成數(shù)學的一些新分支將是對21世紀數(shù)學家們提出的一個新的挑戰(zhàn)。在中國當代的數(shù)學家中，較早地在組合學中的不同方面作出過貢獻的有 華羅庚、 吳文俊、 柯召、 萬哲先、 張里千和 陸家羲等.其中，萬哲先和他領(lǐng)導的研究組在有限幾何方面的系統(tǒng)工作不僅對于組合設(shè)計而且對于圖的對稱性的研究都有影響.陸家羲的有關(guān)不交斯坦納三元系大集的一系列的文章不僅解決了組合設(shè)計方面的一個難題，而且他所創(chuàng)立的方法對于其后的研究者也產(chǎn)生了和正產(chǎn)生著積極的作用。此外，在八卦中，亦運用到了排列組合。排列的定義：從n個不同元素中，任取m(m≤n,m與n均為自然數(shù),下同）個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(m≤n）個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號 A(n,m）表示。計算公式：  向左轉(zhuǎn)|向右轉(zhuǎn)此外規(guī)定0!=1(n!表示n(n-1)(n-2)...1,也就是6！=6x5x4x3x2x1 組合的定義：從n個不同元素中，任取m(m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m≤n）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)。用符號 C(n,m) 表示。計算公式：向左轉(zhuǎn)|向右轉(zhuǎn)基本計數(shù)原理⑴加法原理和分類計數(shù)法⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。⒉第一類辦法的方法屬于集合A1，第二類辦法的方法屬于集合A2，……，第n類辦法的方法屬于集合An，那么完成這件事的方法屬于集合A1UA2U…UAn。⒊分類的要求 ：每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同（即分類不重）；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類（即分類不漏）。⑵乘法原理和分步計數(shù)法⒈ 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法。⒉合理分步的要求任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；各步計數(shù)相互獨立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應(yīng)的完成此事的方法也不同。3.與后來的離散型隨機變量也有密切相關(guān)。下面給出一些例題:【例1】 從1、2、3、……、20這二十個數(shù)中任取三個不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有多少個？分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學背景轉(zhuǎn)化為一個明確的排列組合問題。設(shè)a,b,c成等差，∴ 2b=a+c，可知b由a,c決定，又∵ 2b是偶數(shù)，∴ a,c同奇或同偶，即：分別從1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20這十個數(shù)中選出兩個數(shù)進行排列，由此就可確定等差數(shù)列，A（10,2）*2=90*2，因而本題為180?！纠?】 某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進，則從M到N有多少種不同的走法?分析：對實際背景的分析可以逐層深入：（一）從M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步；（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法；（三）事實上，當把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右；從而，任務(wù)可敘述為：從八個步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)?！?本題答案為：C（8,3）=56。分析分析是分類還是分步，是排列還是組合注意加法原理與乘法原理的特點，分析是分類還是分步，是排列還是組合?！纠?】在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有多少種？分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個條件不容易用一個包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。第一類：A在第一壟，B有3種選擇；第二類：A在第二壟，B有2種選擇；第三類：A在第三壟，B有1種選擇，同理A、B位置互換 ，共12種?！纠?】從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有多少種？（A)240 (B)180 (C)120 (D)60分析：顯然本題應(yīng)分步解決。（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有6種方法；（二）從剩下的十只手套中任選一只，有10種方法。（三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有8種方法；（四）由于選取與順序無關(guān)，因（二）（三）中的選法重復(fù)一次，因而共240種?；蚍植舰艔?雙中選出一雙同色的手套，有C（6,1）=6種方法⑵從剩下的5雙手套中任選兩雙，有C（5,2）=10種方法⑶從兩雙中手套中分別各拿一只手套，有C（2,1）×C（2,1）=4種方法。同樣得出共⑴×⑵×⑶=240種?！纠?】．身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個人都比他同列的身后的人個子矮，則所有不同的排法種數(shù)為_______。分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有C（6,2）×C（4,2）×C（2,2）=90種?！纠?】在11名工人中，有5人只能當鉗工，4人只能當車工，另外2人能當鉗工也能當車工?，F(xiàn)從11人中選出4人當鉗工，4人當車工，問共有多少種不同的選法?分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點？分類的標準必須前后統(tǒng)一。以兩個全能的工人為分類的對象，考慮以他們當中有幾個去當鉗工為分類標準。第一類：這兩個人都去當鉗工，C（2,2）×C（5,2）×C（4,4）=10種；第二類：這兩個人都去當車工，C（5,4）×C（2,2）×C（4,2）=30種；第三類：這兩人既不去當鉗工，也不去當車工C（5,4）×C（4,4）=5種。第四類：這兩個人一個去當鉗工、一個去當車工，C（2,1）×C（5,3）×C（4,3）=80種；第五類：這兩個人一個去當鉗工、另一個不去當車工，C（2,1）×C（5,3）×C（4,4）=20種；第六類：這兩個人一個去當車工、另一個不去當鉗工，C（5,4）×C（2,1）×C（4,3）=40種；因而共有185種?！纠?】現(xiàn)有印著0，1，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個不同的三位數(shù)?分析：有同學認為只要把0，1，3，5，7，9的排法數(shù)乘以2即為所求，但實際上抽出的三個數(shù)中有9的話才可能用6替換，因而必須分類。抽出的三數(shù)含0，含9，有32種方法；抽出的三數(shù)含0不含9，有24種方法；抽出的三數(shù)含9不含0，有72種方法；抽出的三數(shù)不含9也不含0，有24種方法。因此共有32+24+72+24=152種方法。【例8】停車場劃一排12個停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法有多少種?分析：把空車位看成一個元素，和8輛車共九個元素排列，因而共有A（9,9）=362880種停車方法。【例9】六人站成一排，求⑴甲、乙既不在排頭也不在排尾的排法數(shù)⑵甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù)分析：⑴按照先排出首位和末尾再排中間四位分步計數(shù)第一步：排出首位和末尾、因為甲乙不在首位和末尾，那么首位和末尾實在其它四位數(shù)選出兩位進行排列、一共有A（4,2）=12種；第二步：由于六個元素中已經(jīng)有兩位排在首位和末尾，因此中間四位是把剩下的四位元素進行順序排列，共A（4,4）=24種；根據(jù)乘法原理得即不再排頭也不在排尾數(shù)共12×24=288種。⑵第一類：甲在排尾，乙在排頭，有A（4,4）種方法。第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有3×A（4,4）種方法。第三類：乙在排頭，甲不在排尾，有3×A（4,4）種方法。第四類：甲不在排尾也不在排頭，乙不在排頭也不在排尾，有6×A（4,4）種方法（排除相鄰）。共A（4,4）+3×A（4,4）+3×A（4,4）+6×A（4,4）=312種?！纠?0】對某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進行一一測試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測試時被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測試方法有多少種可能?分析：本題意指第五次測試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個次品，因而第五次測試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次測試的有C（4,1）種可能；第二步：前四次有一件正品有C（6,1）中可能。第三步：前四次有A（4,4）種可能?！?共有576種可能。【例11】8人排成一隊⑴甲乙必須相鄰⑵甲乙不相鄰⑶甲乙必須相鄰且與丙不相鄰⑷甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰⑸甲乙不相鄰，丙丁不相鄰分析：⑴甲乙必須相鄰，就是把甲乙 捆綁（甲乙可交換） 和7人排列A（7,7）×A（2，2）⑵甲乙不相鄰，A（8,8）-A（7,7）×2?；駻（6,6）×A(7,2)⑶甲乙必須相鄰且與丙不相鄰，先求甲乙必須相鄰且與丙相鄰A（6,6）×2×2甲乙必須相鄰且與丙不相鄰A（7,7）×2-A（6,6）×2×2⑷甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰A（6,6）×2×2⑸甲乙不相鄰，丙丁不相鄰，A（8,8）-A（7,7）×2×2+A（6,6）×2×2【例12】某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況?分析：∵ 連續(xù)命中的三槍與單獨命中的一槍不能相鄰，因而這是一個插空問題。另外沒有命中的之間沒有區(qū)別，不必計數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個空中選出2個的排列，即A（5,2）?！纠?3】 馬路上有編號為l，2，3，……，10 十個路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種?分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因為燈與燈之間沒有區(qū)別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個空中選出3個空放置熄滅的燈?！?共C（6,3）=20種方法。方法二：把其中的3只燈關(guān)掉總情況有C（8，3)種關(guān)掉相鄰的三只有C（6，1)種關(guān)掉相鄰的兩只有2*C（7，2)-12種所以滿足條件的關(guān)燈方法有:C（8，3)-C（6，1)-[2*C（7，2)-12]=56-6-(42-12)=20種【例14】三行三列共九個點，以這些點為頂點可組成多少個三角形?分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。所求問題的方法數(shù)=任意三個點的組合數(shù)-共線三點的方法數(shù)，∴ 共76種。【例15】正方體8個頂點中取出4個，可組成多少個四面體?分析：所求問題的方法數(shù)=任意選四點的組合數(shù)-共面四點的方法數(shù)，∴ 共C（8,4）-12=70-12=58個?！纠?6】1，2，3，……，9中取出兩個分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個不同數(shù)值的對數(shù)?分析：由于底數(shù)不能為1。⑴當1選上時，1必為真數(shù)，∴ 有一種情況。⑵當不選1時，從2--9中任取兩個分別作為底數(shù)，真數(shù)，共A（8,2）=56，其中l(wèi)og2為底4=log3為底9，log4為底2=log9為底3,log2為底3=log4為底9,log3為底2=log9為底4.因而一共有56-4+1=53個?！纠?7】 六人排成一排，要求甲在乙的前面，（不一定相鄰），共有多少種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢?分析：（一）實際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對稱，具有相同的排法數(shù)。因而有A(6，6)/2=360種。（二）先考慮六人全排列A(6,6)種；其次甲乙丙三人實際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數(shù)重復(fù)了A(3,3)種， ∴ 有A(6，6)/A(3,3)=120種。【例18】5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法?分析：（一）首先不考慮男生的站位要求，共A（9,9）種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復(fù)了A(5,5)次。因而有A(9,9,)/A(5,5,)=9×8×7×6=3024種若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法， 同理也有3024種，綜上，有6048種。（二）按照插空的方式進行思考。第一步：4個女生先在9個位置中選擇4個，為A(9,4)種方式；第二步：男生站剩下的位置，因為必須從高到矮的順序，沒有規(guī)定方向，所以有2種；綜上，總的站法數(shù)有A(9,4)×2=6048種。【例19】 三個相同的紅球和兩個不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法?分析：先認為三個紅球互不相同，共A（5,5）=120種方法。而由于三個紅球所占位置相同的情況下，共A（3,3）=6變化，因而共A（5,5）/A（3,3）=20種。公式P是指排列，從N個元素取R個進行排列（即排序）。（P是舊用法，教材上多用A，Arrangement)公式C是指組合，從N個元素取R個，不進行排列（即不排序）。擋板的使用【例20】10個名額分配到八個班，每班至少一個名額，問有多少種不同的分配方法?分析：把10個名額看成十個元素，在這十個元素之間形成的九個空中，選出七個位置放置檔板，則每一種放置方式就相當于一種分配方式。因而共36種。區(qū)別與聯(lián)系所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補充一個階段（排序）可轉(zhuǎn)化為排列問題。【例21】用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，⑴可組成多少個不同的四位數(shù)?⑵可組成多少個不同的四位偶數(shù)⑶可組成多少個能被3整除的四位數(shù)?分析：⑴有A（6,4）-A（5,3）=300個。⑵分為兩類：0在末位，則有A（5,3）=60種：0不在末位，則有C（2,1）×A（5,3）-C（2,1）×A（4,2）=96種?！?共60+96=156種。⑶先把四個相加能被3整除的四個數(shù)從小到大列舉出來，即先選0，1，2，30，1，3，50，2，3，40，3，4，51，2，4，5它們排列出來的數(shù)一定可以被3整除，再排列，有：4×[A（4,4）-A（3,3）]+A（4,4）=96種。分組問題【例22】 5名學生分配到4個不同的科技小組參加活動，每個科技小組至少有一名學生參加，則分配方法共有多少種？分析：（一）先把5個學生分成二人，一人，一人，一人各一組。其中涉及到平均分成四組，有C（5,3）=10種分組方法?？梢钥闯?個板三個板不空的隔板法。（二）再考慮分配到四個不同的科技小組，有A（4,4）=24種，由（一）（二）可知，共10×24=240種。幾何問題【例23】某區(qū)有7條南北向街道，5條東西向街道（如右圖）⑴圖中共有多少個矩形？⑵從A點到B點最近的走法有多少種？分析：⑴在7條豎線中任選2條，5條橫線中任選2條，這樣4條線可組成1個矩形，故可組成矩形C（7,2）·C（5,2）=210個⑵每條東西向的街道被分成4段，每條南北向的街道被分成6段，從A到B最短的走法，無論怎樣走，一定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每種走法，即是從10段中選出6段，這6段是走東西方向的，共有C（10,6）=C（10,4）=210種走法（同樣可以從10段中選出4段走南北方向，每一種選法即是1種走法）。所以共有210種走法。

法律碩士，山東大學比蘇州大學要好

盛大縱橫天下，此游戲自上線以來，一直深受玩家喜愛，那么想知道盛大縱橫天下的最新攻略及新聞信息么，下面跟著小骨來一起學習關(guān)于盛大縱橫天下的知識吧，希望各位玩家了解后能夠?qū)υ撚螒蛴懈由钊氲睦斫狻? 縱橫天下是一款由同名頁游改編的2d卡牌手游。游戲畫面精致而細膩，唯美而不失艷麗。趕快來鐵骨網(wǎng)下載試試這款由盛大出品的卡牌新游吧！ 縱橫天下手游是2D卡片類手游，與盛大游戲在2007年推出的頁游同名，并且通用是三國題材游戲，手游集合了中日韓三國畫師，用二次元風格重繪三國人物。 縱橫天下手游玩法方面則采用ATB回合制（即“時間槽”，時間槽的積累速度會因角色能力值而改變，對決雙方需在時間槽蓄滿之前迅速完成操作）。 縱橫天下游戲特色： 1、同名頁游改編的卡牌類手機網(wǎng)游; 2、飽滿的卡牌人物設(shè)計讓人過目難忘; 3、極具策略性的卡牌對戰(zhàn)方式; 4、指尖便捷操作，體驗掌上游戲的獨特魅力。  

銀行卡沒有激活在銀行是可以查看身份證的，攜帶個人身份證去銀行能查看到個人身份證號碼，辦理銀行卡之后及時激活使用，如有長期不用銀行卡會注銷的。激活銀行卡的步驟：持個人銀行卡和本人身份證到開戶行；申請辦理卡片激活；根據(jù)柜臺指示，設(shè)置密碼；之后簽字確認就可以完成銀行卡激活了?？偨Y(jié)：如果個人沒時間去開戶行激活，可以打銀行卡后面的客服號碼，按提示步驟操作，就可以正常激活，但是到柜臺激活比較安全。

信用卡辦理條件：辦理信用卡需要年滿十八歲，而且有穩(wěn)定的收入或者有其他財力證明是可以辦理信用卡。信用卡辦卡條件：年滿18周歲；需要本人第二代身份證；有工作證明及蓋有單位財務(wù)章的收入證明；沒有不良信用記錄；其它財力證明，如房產(chǎn)、汽車、股票、債券等。信用卡申請流程：填寫申請表 ；給銀行本人的資料,和資料復(fù)印件 ；銀行寄送給信用卡中心 ；信用卡中心進行審核,制卡,發(fā)卡 ；本人拿到卡片后,開卡,等密碼函 。

本數(shù)據(jù)來源于百度地圖，最終結(jié)果以百度地圖最新數(shù)據(jù)為準。公交線路：上青線 → 739路，全程約26.2公里1、從上海市青浦高級中學步行約580米,到達公園東路華浦路站2、乘坐上青線,經(jīng)過19站, 到達上海動物園(招呼站)站3、步行約10米,到達上海動物園(虹井路)站4、乘坐739路,經(jīng)過3站, 到達哈密路中新涇站（也可乘坐196路、807路）

小鳥游まゆ（ 小鳥游麻友）的番號DIC-036

建行信用卡不同卡種的卡片，卡號段會不同，沒辦法統(tǒng)籌的來說，卡號前12位的具體數(shù)字 一般銀聯(lián)單幣種卡是“62”開頭的 銀聯(lián)-VISA雙幣種卡、VISA單標卡是4開頭的 銀聯(lián)-萬事達雙幣種卡是5開頭的 銀聯(lián)-JCB雙幣種卡、JCB單標卡是3開頭的

是的，信息沒更新。信用卡申請進度查詢：查詢步驟：一、網(wǎng)銀查詢：1、登錄銀行信用卡中心頁面，然后點擊“辦卡進度查詢”功能;2、進入“信用卡辦卡進度查詢”頁面，輸入證件號碼及驗證碼就能查詢到銀行信用卡申請進度詳細情況。二、電話查詢:打信用卡客服電話,輸入身份證號查詢進度。三、微信查詢:關(guān)注銀行公眾號，查詢申請進度。四、銀行柜臺查詢:通過銀行柜臺或者聯(lián)系當?shù)氐陌l(fā)卡機構(gòu)查詢信用卡的申請進度。